Съдържание
Темповете на промяна се появяват навсякъде в науката и особено във физиката чрез количества като скорост и ускорение. Производните описват скоростта на промяна на едно количество по отношение на друго математически, но изчисляването им може да е сложно понякога и може да ви бъде представена графика, а не функция във формата на уравнение. Ако ви бъде представена графика на крива и трябва да намерите производната от нея, може да не сте в състояние да бъдете толкова точни, колкото с уравнение, но можете лесно да направите солидна оценка.
TL; DR (Твърде дълго; Не четях)
Изберете точка на графиката, за да намерите стойността на производната при.
Начертайте права линия допирателна към кривата на графиката в този момент.
Направете наклона на тази линия, за да намерите стойността на производната в избраната от вас точка на графиката.
Какво е производно?
Извън абстрактната настройка за диференциране на уравнение може да сте малко объркани какво всъщност представлява производното. В алгебрата производното на функция е уравнение, което ви казва стойността на "наклона" на функцията във всяка точка. С други думи, той ви казва колко се променя едното количество при малка промяна в другото. На графика градиентът или наклонът на линията ви казват колко зависимата променлива (поставена на ш-axis) се променя с независимата променлива (на х-ос).
За праволинейните графики определяте (постоянната) скорост на промяна, като изчислявате наклона на графиката. Връзките, описани от кривите, не са толкова лесни за справяне, но принципът, че производната означава само наклона (в тази конкретна точка), все още важи.
За отношения, описани от криви, производната приема различна стойност във всяка точка по кривата. За да оцените производната на графиката, трябва да изберете точка, на която да вземете производната. Например, ако имате графика, показваща разстоянието, изминато спрямо времето, на права графика наклонът ще ви каже постоянната скорост. За скорости, които се променят с времето, графиката би била крива, но права линия, която просто докосва кривата в една точка (линия, допирателна към кривата), представлява скоростта на промяна в тази конкретна точка.
Изберете място, на което трябва да знаете производната. Използвайки примерно изминатото разстояние и времето, изберете времето, през което искате да знаете скоростта на пътуване. Ако трябва да знаете скоростта в няколко различни точки, можете да преминете през този процес за всяка отделна точка. Ако искате да знаете скоростта 15 секунди след началото на движението, изберете точката на кривата на 15 секунди на х-ос.
Начертайте линия, тангенциална на кривата в точката, която ви интересува. Отделете време, когато правите това, защото това е най-важната и най-предизвикателната част от процеса. Оценката ви ще бъде по-добра, ако очертаете по-точна допирателна линия. Задръжте линийка до точката на кривата и регулирайте нейната ориентация, така че линията, която очертавате, ще бъде само докоснете кривата в единичната точка, която ви интересува.
Начертайте линията си, докато графиката ще позволи. Уверете се, че можете лесно да прочетете две стойности и за двете х и ш координати, една близо до началото на вашата линия и една в края. Не е необходимо абсолютно да рисувате дълга линия (технически всяка права линия е подходяща), но по-дългите линии обикновено са по-лесни за измерване на наклона на.
Намерете две места на линията си и направете забележка за х и ш координати за тях. Например, представете си допирателната линия като две забележителни петна в х = 1, ш = 3 и х = 10, ш = 30, което можете да наречете точка 1 и точка 2. Използване на символите х1 и ш1 да представлява координатите на първата точка и х2 и ш2 да представлява координатите на втората точка, наклона m се дава от:
m = (ш2 - у1) ÷ (х2 – х1)
Това ви показва производната на кривата в точката, където линията докосва кривата. В примера х1 = 1, х2 = 10, ш1 = 3 и ш2 = 30, така че:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
В примера този резултат ще бъде скоростта в избраната точка. Така че, ако х-осата се измерва за секунди и ш-осата се измерва в метри, резултатът ще означава, че въпросният автомобил пътува с 3 метра в секунда. Независимо от конкретното количество, което изчислявате, процесът на оценка на производната е един и същ.