Съдържание
- Матрици, собствени стойности и собствени вектори: какво означават
- Как да изчислим собствени стойности
- Съвети
- Намиране на собствени вектори
Когато ви е представена матрица в клас по математика или физика, често ще бъдете помолени да намерите нейните собствени стойности. Ако не сте сигурни какво означава това или как да го направите, задачата е поразителна и включва много объркващи терминологии, което още повече влошава нещата. Процесът на изчисляване на собствени стойности обаче не е твърде труден, ако ви е приятно да решавате квадратични (или полиномни) уравнения, при условие че научите основите на матриците, собствените стойности и собствените вектори.
Матрици, собствени стойности и собствени вектори: какво означават
Матриците са масиви от числа, където A означава името на родова матрица, като това:
( 1 3 )
А = ( 4 2 )
Числата във всяка позиция варират и дори на тяхно място може да има алгебрични изрази. Това е 2 × 2 матрица, но те се предлагат в различни размери и не винаги имат равен брой редове и колони.
Работата с матриците е различна от работата с обикновени числа и има специфични правила за тяхното умножение, разделяне, добавяне и изваждане една от друга. Термините „собствено значение“ и „собствен вектор“ се използват в матричната алгебра за означаване на две характерни величини по отношение на матрицата. Този проблем с собствената стойност ви помага да разберете какво означава този термин:
А ∙ V = λ ∙ V
А е обща матрица, както преди, V е някакъв вектор и λ е характерна стойност. Погледнете уравнението и забележете, че когато умножите матрицата по вектора V, ефектът е да се възпроизведе един и същ вектор, умножен по стойността λ. Това е необичайно поведение и печели вектора V и количество λ специални имена: собственият вектор и собствената стойност. Това са характерни стойности на матрицата, тъй като умножаването на матрицата по свойствения вектор оставя вектора непроменен, освен умножение по коефициент на собствената стойност.
Как да изчислим собствени стойности
Ако имате проблем с собствената стойност за матрицата под някаква форма, намирането на собствената стойност е лесно (защото резултатът ще бъде вектор, същият като първоначалния, освен умножен по постоянен коефициент - собственото значение). Отговорът се намира чрез решаване на характерното уравнение на матрицата:
det (А – λаз) = 0
Където аз е матрицата за идентичност, която е празна, освен серия от 1s, протичаща диагонално надолу по матрицата. „Det“ се отнася до детерминанта на матрицата, която за обща матрица:
(а б)
А = (c d)
Дадено от
Det А = ad –bc
Така че характерното уравнение означава:
(a - λ b)
det (А – λаз) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Като примерна матрица, нека да определим А като:
( 0 1 )
А = (−2 −3 )
Това означава:
det (А – λаз) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Решенията за λ са собствените стойности и вие решавате това като всяко квадратно уравнение. Решенията са λ = - 1 и λ = - 2.
Съвети
Намиране на собствени вектори
Намирането на собствените вектори е подобен процес. Използване на уравнението:
(А – λ) ∙ V = 0
с всяка собствена стойност, която сте намерили на свой ред. Това означава:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(А – λ) ∙ V = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Можете да разрешите това, като разгледате всеки ред на свой ред. Трябва ви само съотношението на V1 да се V2, защото ще има безкрайно много потенциални решения за V1 и V2.