Съдържание
В математиката последователност е всеки низ от числа, подредени в увеличаващ се или намаляващ ред. Последователността се превръща в геометрична последователност, когато можете да получите всяко число, като умножите предишното число по общ коефициент. Например сериите 1, 2, 4, 8, 16. , , е геометрична последователност с общия коефициент 2. Ако умножите всяко число в серията по 2, ще получите следващото число. За разлика от тях, последователността 2, 3, 5, 8, 14, 22. , , не е геометричен, защото няма общ коефициент между числата. Геометричната последователност може да има частичен общ коефициент, като в този случай всяко следващо число е по-малко от това, което предхожда. 1, 1/2, 1/4, 1/8. , , е пример. Общият му фактор е 1/2.
Фактът, че една геометрична последователност има общ фактор, ви позволява да направите две неща. Първият е да се изчисли всеки случаен елемент в последователността (който математиците обичат да наричат елемента "n-ти"), а вторият е да се намери сумата от геометричната последователност до n-ия елемент. Когато сумирате последователността, като поставяте знак плюс между всяка двойка термини, превръщате последователността в геометрична серия.
Намиране на n-тия елемент в геометрична серия
Като цяло можете да представите всяка геометрична серия по следния начин:
a + ar + ar2 + ар3 + ар4 . . .
където "a" е първият термин от поредицата и "r" е общият фактор. За да проверите това, помислете за сериите, в които a = 1 и r = 2. Получавате 1 + 2 + 4 + 8 + 16. , , работи!
След като установи това, вече е възможно да се получи формула за n-ия термин в последователността (xн).
хн = ар(П-1)
Показателят е n - 1, а не n, за да може първият член в последователността да бъде записан като ar0, което е равно на "а".
Проверете това, като изчислите четвъртия термин в примерната серия.
х4 = (1) • 23 = 8.
Изчисляване на сумата на геометрична последователност
Ако искате да сумирате различаваща се последователност, която е една с обща дажба по-голяма от 1 или по-малка от -1, можете да го направите само до ограничен брой термини. Възможно е обаче да се изчисли сумата от безкрайна конвергентна последователност, която е една с общо съотношение между 1 и -1.
За да разработите формулата на геометричната сума, започнете с това, което правите. Търсите общата сума от следните серии:
a + ar + ar2 + ар3 +. , , ар(П-1)
Всеки термин от поредицата е арк, и k отива от 0 до n-1. Формулата за сумата от поредицата използва знака за главна сигма - ∑ - което означава да добавите всички термини от (k = 0) до (k = n - 1).
Σarк = a
За да проверите това, помислете за сумата от първите 4 члена на геометричната серия, започваща с 1 и имаща общ коефициент 2. В горната формула a = 1, r = 2 и n = 4. Като включите тези стойности, получавате:
1 • = 15
Това е лесно да се потвърди, като добавите сами числата в серията. Всъщност, когато се нуждаете от сумата от геометрична серия, обикновено е по-лесно да добавите числата сами, когато има само няколко термина. Ако обаче серията има голям брой термини, много по-лесно е да използвате формулата на геометричната сума.