Как да фактор полиноми с фракции

Съдържание

• Полиноми с дефинирани дроби
• Основи на факторинг - дистрибуторска собственост и FOIL метод
• Стъпки, които трябва да предприемете при разделяне на полиномни фракции
• Оценяване на уравнения чрез декомпозиция с частична фракция
• Опростете знаменателя
• Пренаредете числото

Най-добрият начин за разделяне на полиноми с фракции започва с намаляване на фракциите до по-прости термини. Полиномите представляват алгебрични изрази с два или повече термина, по-точно, сумата от множество термини, които имат различни изрази на една и съща променлива. Стратегиите, които подпомагат опростяването на полиноми, включват разделянето на най-големия общ фактор, последвано от групиране на уравнението в най-ниските му условия. Същото важи и при решаването на полиноми с фракции.

Полиноми с дефинирани дроби

Имате три начина да видите полиномите на фразата с дроби. Първата интерпретация адресира полиноми с фракции за коефициенти. В алгебрата коефициентът се определя като числото число или константа, намерено пред променлива. С други думи, коефициентите за 7a, b и (1/3) c са съответно 7, 1 и (1/3). Следователно два примера за полиноми с коефициенти на фракция са:

(1/4) х² + 6x + 20, както и x² + (3/4) x + (1/8).

Втората интерпретация на „полиноми с фракции“ се отнася до полиноми, съществуващи във форма на фракция или съотношение с числител и знаменател, където полинома на числителя е разделен на полинома на знаменателя. Например, тази втора интерпретация е илюстрирана от:

(х² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Третата интерпретация междувременно се отнася до частично разлагане на фракцията, известно също като частично разширяване на фракцията. Понякога полиномните фракции са сложни, така че когато се „разлагат“ или „разграждат“ на по-прости термини, те се представят като суми, разлики, продукти или коефициенти на полиномни фракции. За илюстрация, сложната полиномна фракция на (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) се оценява чрез частично разлагане на фракцията, което между другото включва факториране на полиноми, за да бъде + в най-проста форма.

Основи на факторинг - дистрибуторска собственост и FOIL метод

Факторите представляват две числа, които, когато се умножат заедно, са равни на трето число. В алгебраичните уравнения факторингът определя кои две величини са умножени заедно, за да се стигне до даден полином. Свойството на разпределение се следва силно при умножаването на полиноми. Свойството на разпределение по същество позволява да се умножи сума, като се умножи всяко число поотделно, преди да се добавят продуктите. Наблюдавайте например как се прилага свойството за разпространение в примера на:

7 (10x + 5), за да се стигне до биномиал 70x + 35.

Но, ако два бинома са умножени заедно, тогава се използва разширена версия на свойството на разпределение чрез метода FOIL. FOIL представлява съкращението за първо, външно, вътрешно и последно термини, които се умножават. Следователно, факторинг полиноми води до изпълнение на метода FOIL назад. Вземете двата горепосочени примера с полиномите, съдържащи коефициенти на фракция. Извършването на метод FOIL назад на всеки от тях води до факторите на:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) за първия полином и коефициентите на:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) за втория полином.

Пример: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Пример: х² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Стъпки, които трябва да предприемете при разделяне на полиномни фракции

От по-горе, полиномните дроби включват полином в числителя, разделен на полином в знаменателя. По този начин оценяването на полиномните фракции налага факторизиране на полинома на числителя, последвано от факториране на полинома на знаменателя. Той помага да се намери най-големият общ фактор, или GCF, между числителя и знаменателя. След като се намери GCF както на числителя, така и на знаменателя, той отменя, в крайна сметка намалявайки цялото уравнение на опростени термини. Помислете първоначалния пример за полиномична фракция по-горе от

(х² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Факторинг на полиномите на числителя и знаменателя за намиране на резултатите от GCF в:

÷, като GCF е (x + 2).

GCF както в числителя, така и в знаменателя се отменят взаимно, за да предоставят окончателния отговор в най-ниските изрази на (x + 5) ÷ (x + 9).

Пример:

х² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

х²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Оценяване на уравнения чрез декомпозиция с частична фракция

Разлагането с частична фракция, което включва факторинг, е начин за пренаписване на сложни полиномични фракции в по-проста форма. Преразглеждане на примера отгоре на

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Опростете знаменателя

Опростете знаменателя, за да получите: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

х² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Пренаредете числото

След това пренаредете числителя така, че да започне да присъства GCF в знаменателя, за да получите:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, което се разширява допълнително до {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

За лявото допълнение GCF е (x - 1), докато за дясното допълнение GCF е (x + 2), които отменят в числителя и знаменателя, както се вижда в {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

По този начин, когато GCF отменят, окончателният опростен отговор е +:

3 5

__ + __ като разтвор на разпадането на частичната фракция.

x + 2 x - 1