Съдържание
След като започнете да решавате алгебраични уравнения, които включват полиноми, способността за разпознаване на специални форми с лесен фактор на полиноми става много полезна. Един от най-полезните полиноми за „лесен фактор“, който се забелязва, е перфектният квадрат, или триномият, който се получава в резултат на отрязването на двучлен. След като идентифицирате перфектен квадрат, разделянето му на отделни компоненти често е жизненоважна част от процеса на решаване на проблеми.
Идентифициране на перфектните квадратни триноми
Преди да успеете да фактор на перфектен квадратен тричлен, трябва да се научите да го разпознавате. Идеалният квадрат може да приеме всяка от двете форми:
Някои примери за перфектни квадратчета, които може да видите в „реалния свят“ на математическите проблеми, включват:
Какъв е ключът към разпознаването на тези перфектни квадрати?
Проверете първия и третия член на тринома. И двете площади ли са? Ако отговорът е „да“, разберете какви са квадратите. Например във втория пример за „реалния свят“, даден по-горе, ш2 - 2_y_ + 1, терминът ш2 очевидно е площадът на у. Терминът 1 е може би по-малко очевидно квадратът на 1, защото 12 = 1.
Умножете корените на първия и третия член заедно. За да продължите примера, това ш и 1, което ви дава ш × 1 = 1_y_ или просто ш.
След това умножете продукта си с 2. Продължавайки примера, имате 2_y._
Накрая, сравнете резултата от последната стъпка със средния член на полинома. Съвпадат ли? В полинома ш2 - 2_y_ + 1, те правят. (Знакът е без значение; и т.н. също ще бъде съвпадение, ако средният срок беше + 2_y_.)
Тъй като отговорът в стъпка 1 беше "да" и вашият резултат от стъпка 2 съответства на средния член на полинома, знаете, че гледате на перфектен квадратен тричлен.
Факториране на перфектен квадратен триномиал
След като знаете, че гледате на перфектен квадратен тричлен, процесът на неговото факториране е доста лесен.
Идентифицирайте корените или числата в квадрат в първия и третия член на триномия. Помислете за друг ваш пример триноми, за които вече знаете, че е перфектен квадрат, х2 + 8_x_ + 16. Очевидно числото, което е квадрат в първия мандат, е х, Броят, който се поставя на квадрат в третия мандат, е 4, защото 42 = 16.
Помислете отново за формулите за перфектни квадратни триноми. Знаете, че вашите фактори ще приемат или формата (а + б)(а + б) или формата (а – б)(а – б), където а и б са числата на квадрат в първия и третия член. Така че можете да изпишете факторите си по този начин, пропускайки знаците в средата на всеки термин за сега:
(а ? б)(а ? б) = а2 ? 2_ab_ + б2
За да продължите примера, като замените корените на текущия си тричлен, трябва:
(х ? 4)(х ? 4) = х2 + 8_x_ + 16
Проверете средния срок на тринома. Има ли положителен или отрицателен знак (или казано по друг начин, добавя се или се изважда)? Ако той има положителен знак (или се добавя), тогава и двата фактора на триномията имат знак плюс в средата. Ако има отрицателен знак (или се изважда), и двата фактора имат отрицателен знак в средата.
Средният термин на настоящия пример тричлен е 8_x_ - неговият положителен - така че сега сте взели предвид перфектния квадратен триномиал:
(х + 4)(х + 4) = х2 + 8_x_ + 16
Проверете работата си, като умножите двата фактора заедно. Прилагането на FOIL или първи, външен, вътрешен, последен метод ви дава:
х2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Опростяването на това дава резултат х2 + 8_x_ + 16, което съответства на вашия тричлен. Така че факторите са правилни.