Как да намерим корените на полином

Съдържание

• Колко корена?
• Предупреждения
• Намерете корени чрез факториране: Пример 1
• Намерете корени по факторинг: Пример 2
• Намерете корени чрез графика

Корените на полином също се наричат ​​нули, защото корените са х стойности, при които функцията е равна на нула. Когато става въпрос за реално намиране на корените, имате на разположение множество техники; факторингът е методът, който ще използвате най-често, въпреки че графиките също могат да бъдат полезни.

Колко корена?

Разгледайте термина с най-висока степен на полинома - тоест терминът с най-висок показател. Този показател е колко корени ще има полинома. Така че, ако най-високият показател във вашия полином е 2, то ще има два корена; ако най-високият показател е 3, то ще има три корена; и така нататък.

Предупреждения

Намерете корени чрез факториране: Пример 1

Най-универсалният начин за намиране на корени е разделяне на вашия полином колкото е възможно повече и след това определяне на всеки термин равен на нула. Това има много повече смисъл, след като следвате няколко примера. Помислете за простия полином х² - 4_x: _

Кратък преглед показва, че можете да направите фактор х от двата термина на полинома, което ви дава:

х(х – 4)

Задайте всеки термин на нула. Това означава решаване на две уравнения:

х = 0 е първият термин, зададен на нула, и




х - 4 = 0 е вторият термин, зададен на нула.

Вече имате решение за първия мандат. ако х = 0, тогава целият израз е равен на нула. Така х = 0 е един от корените или нулите на полинома.

Сега помислете за втория мандат и решете за х, Ако добавите 4 от двете страни, ще имате:

х - 4 + 4 = 0 + 4, което опростява до:

х = 4. Така че, ако х = 4, тогава вторият коефициент е равен на нула, което означава, че и целият полином е равен на нула.

Тъй като първоначалният полином е бил от втора степен (най-високият показател е две), знаете, че има само два възможни корена за този полином. Вече сте ги намерили и двете, така че всичко, което трябва да направите, е да ги изброите:

х = 0, х = 4

Намерете корени по факторинг: Пример 2

Ето още един пример за това как да намерите корени чрез факторинг, използвайки някаква фантазия алгебра по пътя. Помислете полинома х⁴ - 16. Бърз поглед към неговите съставки показва, че за този полином трябва да има четири корена; сега е време да ги намерите.

Забелязахте ли, че този полином може да бъде пренаписан като разликата на квадратите? Така че вместо х⁴ - 16, имате:

(х²)² – 4²

Което, използвайки формулата за разликата на квадратите, отчита следното:

(х² – 4)(х² + 4)

Първият термин отново е разлика от квадрати. Така че, въпреки че не можете да фактурирате термина вдясно повече, можете да фактурирате термина отляво още една стъпка:

(х – 2)(х + 2)(х² + 4)

Сега е време да намерим нулите. Бързо става ясно, че ако х = 2, първият коефициент ще е равен на нула и по този начин целият израз ще е равен на нула.

По същия начин, ако х = -2, вторият коефициент ще бъде равен на нула и по този начин ще бъде и цялото изражение.

Така х = 2 и х = -2 са и нули, или корени, на този полином.

Но какво ще кажете за последния мандат? Тъй като има показател "2", той трябва да има два корена. Но не можете да отчитате този израз, използвайки реалните числа, на които сте свикнали. Трябва да използвате много усъвършенствана математическа концепция, наречена въображаеми числа или, ако предпочитате, сложни числа. Това е далеч извън обхвата на сегашната ви математическа практика, така че засега е достатъчно да отбележите, че имате два истински корена (2 и -2) и две въображаеми корени, които ще оставите неопределени.

Намерете корени чрез графика

Можете също така да намерите или поне да прецените корените чрез графики. Всеки корен представлява място, където графиката на функцията пресича х ос. Така че, ако очертаете линията и след това отбележете х координати, където линията пресича х ос, можете да вмъкнете прогнозното х стойностите на тези точки във вашето уравнение и проверете дали сте ги получили правилни.

Помислете за първия полином, който работихте х² - 4_x_. Ако го очертаете внимателно, ще видите, че линията пресича х ос при х = 0 и х = 4. Ако въведете всяка от тези стойности в оригиналното уравнение, ще получите:

0² - 4 (0) = 0, така че х = 0 е валидна нула или корен за този полином.

4² - 4 (4) = 0, така че х = 4 също е валидна нула или корен за този полином. И понеже полиномът беше от степен 2, знаете, че можете да спрете да търсите, след като намерите два корена.