Как да опростите сложните числа

Съдържание

• TL; DR (Твърде дълго; Не четях)
• Какво е сложен номер?
• Основни правила за алгебра със сложни числа
• Разделяне на сложни числа
• Опростяване на сложни числа

Алгебрата често включва опростяване на изразите, но някои изрази са по-объркващи за разглеждане от други. Сложните числа включват количеството, известно като аз, „въображаем“ номер със собствеността аз = √ − 1. Ако трябва просто израз, включващ сложно число, може да изглежда обезсърчително, но това е доста прост процес, след като научите основните правила.

TL; DR (Твърде дълго; Не четях)

Опростете сложните числа, като следвате правилата на алгебрата със сложни числа.

Какво е сложен номер?

Сложните числа се определят от включването им на аз термин, който е квадратният корен от минус един. В математиката на основно ниво квадратните корени на отрицателните числа всъщност не съществуват, но понякога се появяват в проблеми с алгебрата. Общата форма за сложно число показва тяхната структура:

Z = а + двупосочен

Където Z обозначава сложния номер, а представлява всяко число (наречено „истинската“ част), и б представлява друго число (наречено „въображаема“ част), като и двете могат да бъдат положителни или отрицателни. Така че примерно сложно число е:

Z = 2 −4_i_

Тъй като всички квадратни корени на отрицателни числа могат да бъдат представени от кратни на аз, това е формата за всички сложни числа. Технически, редовното число просто описва специален случай на сложно число където б = 0, така че всички числа могат да се считат за сложни.

Основни правила за алгебра със сложни числа

За да добавите и извадите сложни числа, просто добавете или изваждайте действителните и въображаемите части поотделно. Така че за сложни числа Z = 2 - 4_i_ и w = 3 + 5_i_, сумата е:

Z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)аз

= 5 + 1_i_ = 5 + аз

Изваждането на числата работи по същия начин:

Z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)аз

= −1 - 9_i_

Умножението е друга проста операция със сложни числа, тъй като работи като обикновено умножение, с изключение на това трябва да помните това аз² = −1. Така че да се изчисли 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Но оттогава аз²= −1, тогава:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

С пълни сложни числа (използвайки Z = 2 - 4_i_ и w = 3 + 5_i_ отново), вие ги умножавате по същия начин, както бихте направили с обикновени числа като (а + б) (° С + д), използвайки метода „първи, вътрешен, външен, последен“ (FOIL), за да дадем (а + б) (° С + д) = променлив ток + ж.к. + реклама + бг, Всичко, което трябва да запомните, е да опростите всички случаи аз², Така например:

Z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Разделяне на сложни числа

Разделянето на сложни числа включва умножаването на числителя и знаменателя на дроба по сложния конюгат на знаменателя. Сложният спрегнат просто означава версията на комплексното число с въображаемата част, обърната в знак. Така че за Z = 2 - 4_i_, сложният конюгат Z = 2 + 4_i_ и за w = 3 + 5_i_, w = 3 -5_i_. За проблема:

Z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Необходимият конюгат е w*. Разделете числителя и знаменателя с това, за да дадете:

Z / w = (2 - 4_i_) (3 -5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

И тогава работите както в предишния раздел. Числителят дава:

(2 - 4_i_) (3 -5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

И знаменателят дава:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Това означава:

Z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Опростяване на сложни числа

Използвайте горните правила, за да опростите сложни изрази. Например:

Z = ((4 + 2_i_) + (2 - аз)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ аз))

Това може да се опрости, като се използва правилото за добавяне в числителя, правилото за умножение в знаменателя и след това попълването на делението. За числителя:

(4 + 2_i_) + (2 - аз) = 6 + аз

За знаменателя:

(2 + 2_i _) (2+ аз) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Поставянето им обратно дава:

Z = (6 + аз) / (2 + 6_i_)

Умножаването на двете части от спрега на знаменателя води до:

Z = (6 + аз) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Това означава Z опростява, както следва:

Z = ((4 + 2_i_) + (2 - аз)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ аз)) = 9/20 −17_i_ / 20