Съдържание
Трите метода, които най-често се използват за решаване на системи от уравнения, са заместване, елиминиране и разширени матрици. Заместването и елиминирането са прости методи, които могат ефективно да решат повечето системи от две уравнения в няколко прави стъпки. Методът на разширените матрици изисква повече стъпки, но приложението му се простира до по-голямо разнообразие от системи.
Заместване
Заместването е метод за решаване на системи от уравнения чрез премахване на всички, освен една от променливите в едно от уравненията и след това решаване на това уравнение. Това се постига чрез изолиране на другата променлива в уравнение и след това заместване на стойностите за тези променливи в друго друго уравнение. Например, за да разрешите системата от уравнения x + y = 4, 2x - 3y = 3, изолирайте променливата x в първото уравнение, за да получите x = 4 - y, след което заместете тази стойност на y във второто уравнение, за да получите 2 (4 - y) - 3y = 3. Това уравнение опростява до -5y = -5, или y = 1. Включете тази стойност във второто уравнение, за да намерите стойността на x: x + 1 = 4 или x = 3.
отстраняване
Елиминирането е друг начин за решаване на системи от уравнения чрез пренаписване на едно от уравненията само с една променлива. Методът на елиминиране постига това чрез добавяне или изваждане на уравнения едно от друго, за да се отмени една от променливите. Например, добавянето на уравненията x + 2y = 3 и 2x - 2y = 3 води до ново уравнение, 3x = 6 (имайте предвид, че y условията са отменени). След това системата се решава с помощта на същите методи като за заместване. Ако е невъзможно да се отменят променливите в уравненията, ще бъде необходимо да се умножи цялото уравнение по коефициент, за да се съпоставят коефициентите.
Увеличена матрица
Увеличените матрици могат да се използват и за решаване на системи от уравнения. Допълнената матрица се състои от редове за всяко уравнение, колони за всяка променлива и увеличена колона, която съдържа постоянния термин от другата страна на уравнението. Например, допълнената матрица за системата от уравнения 2x + y = 4, 2x - y = 0 е, ...].
Определяне на разтвора
Следващата стъпка включва използване на елементарни операции на редове, като умножаване или разделяне на ред с константа, различна от нула, и добавяне или изваждане на редове. Целта на тези операции е да преобразуват матрицата във формата на ред-ешелон, в която първият ненулев запис във всеки ред е 1, записи над и под този запис са всички нули, а първият ненулев запис за всеки ред винаги е вдясно от всички такива записи в редовете над него. Формата на редово-ешелон за горната матрица е, ...]. Стойността на първата променлива се дава от първия ред (1x + 0y = 1 или x = 1). Стойността на втората променлива се дава от втория ред (0x + 1y = 2 или y = 2).
Приложения
Заместването и елиминирането са по-прости методи за решаване на уравнения и се използват много по-често от разширените матрици в основната алгебра. Методът на заместване е особено полезен, когато една от променливите вече е изолирана в едно от уравненията. Методът на елиминиране е полезен, когато коефициентът на една от променливите е еднакъв (или неговият отрицателен еквивалент) във всички уравнения. Основното предимство на допълнените матрици е, че може да се използва за решаване на системи от три или повече уравнения в ситуации, когато заместване и елиминиране са или невъзможно или невъзможно.