Съдържание
- TL; DR (Твърде дълго; Не четях)
- Обща формула за намиране на площ
- Формула на Herons
- Използване на закона на косините
За разлика от равностранен триъгълник с трите си равни страни и ъгли, равнобедрен с двете си равни страни или десен триъгълник с ъгъл от 90 градуса, мащабният триъгълник има три страни с произволни дължини и три произволни ъгли. Ако искате да знаете района му, трябва да направите няколко измервания. Ако можете да измерите дължината на едната страна и перпендикулярното разстояние от тази страна до противоположния ъгъл, имате достатъчно информация, за да изчислите площта. Също така е възможно да се изчисли площ, ако знаете дължините и на трите страни. Определянето на стойността на един от ъглите, както и дължините на двете страни, които го образуват, също ви позволява да изчислите площ.
TL; DR (Твърде дълго; Не четях)
Площта на мащабен триъгълник с основа b и височина h е дадена с 1/2 bh. Ако знаете дължините и на трите страни, можете да изчислите площта с помощта на Herons Formula, без да се налага да намирате височината. Ако знаете стойността на ъгъл и дължините на двете страни, които го формират, можете да намерите дължината на третата страна, използвайки Закона на косинусите, и след това да използвате формулата на Herons, за да изчислите площта.
Обща формула за намиране на площ
Помислете за случаен триъгълник. Възможно е да се изчертае правоъгълник около него, който използва една от страните като основата си (няма значение коя) и просто докосва върха на третия ъгъл. Дължината на този правоъгълник е равна на дължината на страната на триъгълника, който го образува, който се нарича основа (b). Ширината му е равна на перпендикулярното разстояние от основата до върха, което се нарича височина (h) на триъгълника.
Площта на правоъгълника, който току-що нарисувахте, е равна на b ⋅ h. Ако обаче разгледате линиите на триъгълника, ще видите, че те разделят двойката правоъгълници, създадени от перпендикулярната линия от основата до върха точно наполовина. Така площта вътре в триъгълника е точно половината от тази извън него, или 1/2 bh. За всеки триъгълник:
Площ = 1/2 база ⋅ височина
Формула на Herons
Математиците са знаели как да изчисляват площта на триъгълник с три известни страни от хилядолетия. Те използват формула Herons, кръстена на Hero of Alexandria. За да използвате тази формула, първо трябва да намерите половината на периметъра (ите) на триъгълника, което правите, като добавите и трите страни и разделете резултата на две. За триъгълник със страни a, b и c, половината на периметъра s = 1/2 (a + b + c). След като знаете s, изчислявате площта по тази формула:
Площ = квадратен корен
Използване на закона на косините
Помислете за триъгълник с три ъгъла A, B и C. Дължините на трите страни са a, b и c. Страницата a е противоположна на ъгъл A, страната b е противоположна на ъгъл B, а страната c е противоположна на ъгъл C. Ако знаете един от ъглите - например ъгъл С - и двете страни, които го образуват - в този случай, a и b - можете да изчислите дължината на третата страна, като използвате тази формула:
° С2 = a2 + b2 - 2ab cos (C)
След като знаете стойността на c, можете да изчислите площта с помощта на Herons Formula.