Съдържание
- Как да пишем за Центъра на гравитацията
- Как да изчислим CG на триъгълник
- Формула на центъра на тежестта за правоъгълник
- Центърът на гравитационното уравнение
- Трикове за намиране на центъра на гравитацията
Преди да обсъдим центъра на тежестта, нека предположим няколко параметъра. Едната, че се занимавате с обект, който се намира на повърхността на Земята, а не навсякъде в космоса. И две, че обектът е сравнително малък - да речем, не космически кораб, паркиран на Земята, който чака да излети.След като всички тези извънземни влияния бъдат елиминирани, вие сте в добра позиция да изчислите центъра на тежестта на геометрични обекти, използвайки сравнително проста формула - и всъщност поради точно зададените условия, ще използвате същата формула, за да намерите центъра на тежестта като за да намерите центъра на масата.
Как да пишем за Центъра на гравитацията
Центърът на тежестта в двуизмерна равнина обикновено се обозначава с координатите (xCG, уCG) или понякога от променливите х и ш с щанга над тях. Също така понятието "център на тежестта" понякога се съкращава до cg.
Как да изчислим CG на триъгълник
Вашата книга по математика или физика често ще има графики в нея за определяне центъра на баланс на определени цифри. Но за някои общи геометрични фигури можете да използвате подходящата формула на центъра на тежестта, за да откриете, че оформя центъра на тежестта.
За триъгълници центърът на тежестта седи в точката, където и трите медиана се пресичат. Ако започнете от едната върха на триъгълника и след това нарисувате права линия до средната точка на другата страна, това е една медиана. Направете същото и за другите два върха, а точката, в която и трите медиана се пресичат, е центърът на тежестта на триъгълниците.
И разбира се, има формула за това. Ако координатите на центъра на тежестта на триъгълниците са (x)CG, уCG), намирате координатите му по този начин:
хCG = (х1 + х2 + х3) ÷ 3
шCG = (у1 + у2 + у3) ÷ 3
Където (х1, у1), (х2, у2) и (х3, у3) са координатите на триъгълниците три върха. Можете да изберете на кой върхове е присвоен кой номер.
Формула на центъра на тежестта за правоъгълник
Забелязали ли сте, че за да намерите центъра на тежестта за триъгълник, просто усреднявате стойността на x-координатите, след това средната стойност на y-координатите и използвате двата резултата като координати за центъра на тежестта?
За да намерите центъра на тежестта за правоъгълник, правите точно същото. Но за да направите вашите изчисления още по-лесни, приемете, че правоъгълникът е ориентиран квадратно към декартова координатна равнина (така че не е зададен под ъгъл) и че долната му лява върха е в началото на графиката. В такъв случай да се намери (xCG, уCG) за правоъгълник, всичко, което трябва да изчислите, е:
хCG = ширина ÷ 2
шCG = височина ÷ 2
Ако не искате да преместите правоъгълника си към произхода на координатната равнина или ако по някаква причина той не е точно квадратен на координатните оси, можете да се сблъскате с тази леко страшна, но все пак ефективна формула, за да оцените средно всичките си x-координати за да намерите стойността на xCG, и осреднете всички y-координати, за да намерите стойността на yCG:
хCG = (х1 + х2 + х3 + х4) ÷ 4
шCG = (у1 + у2 + у3 + у4) ÷ 4
Центърът на гравитационното уравнение
Какво ще стане, ако трябва да изчислите центъра на тежестта за форма, която отговаря на всички споменати първоначални предположения (всъщност вие не се опитвате да правите буквална ракетна наука, като намирате центъра на тежестта за обекти в космоса), но той не попада в никой от току-що споменатите категории или в класациите в задната част на вашата книга? След това можете да разделите формата си на по-познати форми и да използвате следните уравнения, за да намерите техния колективен център на тежест:
хCG = (a1х1 + а2х2 +. , , + анхн) ÷ (a1 + а2 +. , , + ан)
шCG = (a1ш1 + а2ш2 +. , , + аншн) ÷ (a1 + а2 +. , , + ан)
Или казано по друг начин, хCG се равнява на площта на секция 1 пъти по-голяма от местоположението на оста x, добавя се към площта на секция 2 пъти по-голяма от нейното местоположение и така нататък, докато не добавите сумата от времето на местоположението на всички секции; след това разделете цялата сума на общата площ на всички секции. След това направете същото за у.
В: Как да намеря областта на всеки раздел? Разделянето на вашата сложна или неправилна форма на по-познати многоъгълници ви позволява да използвате стандартизирани формули, за да намерите площ. Например, ако сте разделили тази форма на правоъгълни парчета, можете да използвате дължината на формулата × ширина, за да намерите площта на всяко парче.
Въпрос: Какво е "местоположението" на всеки раздел? Местоположението на всеки участък е подходящата координата от центъра на тежестта на тези участъци. Така че, ако искате да2 (местоположението за сегмент 2), всъщност трябва да предоставите y координатата за центъра на тежестта на тези сегменти. Отново, това е причината да разделите странно оформен обект на по-познати фигури, защото можете да използвате вече обсъжданите формули, за да намерите всеки център на тежестта на фигурите и след това да извлечете подходящите координати (и).
Въпрос: Къде формата ми отива на координатната равнина? Можете да изберете къде вашата форма седи в координатната равнина - просто имайте предвид, че центърът на тежестта на вашите отговори ще бъде по отношение на същата опорна точка. Най-лесно е да поставите обекта си в първия квадрант на вашата графика, като долният му край е спрямо оста x, а левият край спрямо оста y, така че всички стойности x и y са положителни, но и достатъчно малки, за да бъдат управляеми.
Трикове за намиране на центъра на гравитацията
Ако се занимавате с един обект, интуицията и малко логиката понякога са всичко, което трябва да намерите центъра на тежестта. Например, ако обмисляте плосък диск, центърът на тежестта ще бъде центърът на диска. В цилиндър, средната точка на оста на цилиндрите. За правоъгълник (или квадрат) е неговата точка, в която се сближават диагоналните линии.
Може би сте забелязали модел тук: Ако въпросният обект има симетрична линия, центърът на тежестта ще бъде на тази линия. И ако има множество оси на симетрия, центърът на тежестта ще бъде там, където тези оси се пресичат.
И накрая, ако се опитвате да намерите центъра на тежестта за наистина сложен обект, имате две възможности: Или изтрийте най-добрите си интеграли на смятане (вижте Ресурси за троен интеграл, който представлява центъра на тежестта за нееднаква маса) или въведете данните си в специално изграден калкулатор на центъра на тежестта. (Вижте Ресурси за пример на калкулатор с център на тежестта за радиоуправляеми самолети.)