Как да намерим експоненциално уравнение с две точки

Съдържание

• Защо експоненциалните функции са важни
• От двойка точки към графика
• Една точка на оста X
• Нито Точка на оста X
• Пример от реалния свят

Ако знаете две точки, които попадат на определена експоненциална крива, можете да определите кривата, като решите общата експоненциална функция, като използвате тези точки. На практика това означава заместване на точките за y и x в уравнението y = ab^х, Процедурата е по-лесна, ако стойността x за една от точките е 0, което означава, че точката е на оста y. Ако нито една точка няма нулева x-стойност, процесът за решаване на x и y е tad по-сложен.

Защо експоненциалните функции са важни

Много важни системи следват експоненциални модели на растеж и разпад. Например, броят на бактериите в колония обикновено нараства експоненциално, а околното излъчване в атмосферата след ядрено събитие обикновено намалява експоненциално. Като вземат данни и начертаят крива, учените са в по-добра позиция да правят прогнози.

От двойка точки към графика

Всяка точка на двуизмерна графика може да бъде представена с две числа, които обикновено се изписват във формата (x, y), където x определя хоризонталното разстояние от началото и y представлява вертикалното разстояние. Например, точката (2, 3) е две единици вдясно от оста y и три единици над оста x. От друга страна, точката (-2, -3) е две единици вляво от оста y. и три единици под оста x.

Ако имате две точки, (x₁, у₁) и (х₂, у₂), можете да определите експоненциалната функция, която преминава през тези точки, като ги замените в уравнението y = ab^х и решаване за a и b. Като цяло трябва да разрешите тази двойка уравнения:

ш₁ = аб^x1 и у₂ = аб^x2, .

В тази форма математиката изглежда малко сложна, но изглежда по-малко, след като сте направили няколко примера.

Една точка на оста X

Ако една от стойностите x - кажете x₁ - е 0, операцията става много проста. Например, решаването на уравнението за точките (0, 2) и (2, 4) дава:

2 = ab⁰ и 4 = ab², Тъй като знаем, че b⁰ = 1, първото уравнение става 2 = a. Заместването на а във второто уравнение дава 4 = 2b², което опростяваме до b² = 2, или b = квадратен корен от 2, който е равен приблизително на 1,41. Определящата функция е тогава y = 2 (1,41)^х.

Нито Точка на оста X

Ако нито една стойност не е нула, решаването на двойката уравнения е малко по-тромаво. Henochmath ни превежда чрез лесен пример за изясняване на тази процедура. В своя пример той избра двойката точки (2, 3) и (4, 27). Това дава следната двойка уравнения:

27 = ab⁴

3 = ab²

Ако разделите първото уравнение на второто, ще получите

9 = b²

така че b = 3. Възможно е b също да е равно на -3, но в този случай приемете положителното му.

Можете да замените тази стойност за b във всяко уравнение, за да получите a. По-лесно е да се използва второто уравнение, така че:

3 = a (3)² което може да бъде опростено до 3 = a9, a = 3/9 или 1/3.

Уравнението, което минава през тези точки, може да бъде записано като y = 1/3 (3)^х.

Пример от реалния свят

От 1910 г. ръстът на човешкото население е експоненциален и чрез начертаване на крива на растеж учените са в по-добра позиция да прогнозират и планират бъдещето. През 1910 г. световното население е 1,75 милиарда, а през 2010 г. - 6,87 милиарда. Взимайки 1910 г. за начална точка, това дава двойката точки (0, 1.75) и (100, 6.87). Тъй като x-стойността на първата точка е нула, лесно можем да намерим a.

1,75 = ab⁰ или a = 1,75. Включването на тази стойност, заедно с тези от втората точка, в общото експоненциално уравнение произвежда 6.87 = 1.75b¹⁰⁰, което дава стойността на b като стотен корен от 6,87 / 1,75 или 3,93. Така уравнението става y = 1,75 (стотен корен от 3,93)^х. Въпреки че е необходимо повече от правило за слайд, за да го направят, учените могат да използват това уравнение, за да проектират бъдещи числа на населението, за да помогнат на политиците в настоящето да създадат подходящи политики.