Съдържание
- Намерете централния ъгъл от дължината и обиколката на дъгата
- Намерете централния ъгъл от дължината и радиуса на дъгата
- Теорема за централния ъгъл
- Изключение от теоремата за централния ъгъл
- Визуализирайте
Представете си, че стоите насред идеално кръгла арена. Гледате към тълпите от двете страни на арената и забелязвате най-добрия си приятел на едно място и вашия учител по математика в средното училище на няколко секции. Какво е разстоянието между тях и вас? Колко далеч ще трябва да вървите, за да пътувате от мястото на приятелите си до мястото на учителите си? Какви са мерките на ъглите между вас? Това са всички въпроси, свързани с централните ъгли.
А централен ъгъл е ъгълът, който се образува, когато от центъра на окръжността до краищата му се изтеглят два радиуса. В този пример двата радиуса са вашите две зрителни линии от вас, в центъра на арената, към вашия приятел и вашата зрителна линия към вашия учител. Ъгълът, който се образува между тези две линии, е централният ъгъл. Ъгълът му е най-близо до центъра на кръга.
Вашият приятел и вашият учител са седнали покрай обиколка или краищата на кръга. Пътят по арената, който ги свързва, е ан дъга.
Намерете централния ъгъл от дължината и обиколката на дъгата
Има няколко уравнения, които можете да използвате, за да намерите централния ъгъл. Понякога ще получите дължината на дъгата, разстоянието по протежение на обиколката между две точки. (В примера това е разстоянието, което би трябвало да извървите около арената, за да стигнете от вашия приятел до вашия учител.) Връзката между централния ъгъл и дължината на дъгата е:
(дължина на дъгата) ÷ обиколка = (централен ъгъл) ÷ 360 °
Централният ъгъл ще бъде в градуси.
Тази формула има смисъл, ако се замислите. Дължината на дъгата извън общата дължина около окръжността (обиколката) е същата пропорция като ъгъла на дъгите извън общия ъгъл в кръг (360 градуса).
За да използвате това уравнение ефективно, трябва да знаете обиколката на окръжността. Но можете също да използвате тази формула, за да намерите дължината на дъгата, ако знаете централния ъгъл и обиколката. Или, ако имате дължината на дъгата и централния ъгъл, можете да намерите обиколката!
Намерете централния ъгъл от дължината и радиуса на дъгата
Можете също да използвате радиуса на окръжността и дължината на дъгата, за да намерите централния ъгъл. Наречете мярката на централния ъгъл θ. Тогава:
θ = s ÷ r, където s е дължината на дъгата и r е радиусът. θ се измерва в радиани.
Отново можете да пренаредите това уравнение в зависимост от информацията, която имате. Можете да намерите дължината на дъгата от радиуса и централния ъгъл. Или можете да намерите радиуса, ако имате централния ъгъл и дължината на дъгата.
Ако искате дължината на дъгата, уравнението изглежда така:
s = θ * r, където s е дължината на дъгата, r е радиусът и θ е централният ъгъл в радианите.
Теорема за централния ъгъл
Нека добавим обрат към вашия пример, когато сте на арената със съседа и учителя си. Сега е трети човек, когото познавате на арената: вашият съсед. И още нещо: Те са зад вас. Трябва да се обърнете, за да ги видите.
Вашият съсед е приблизително през арена от вашия приятел и ваш учител. От гледна точка на вашите съседи, има ъгъл, образуван от тяхната зрителна линия към приятеля и тяхната зрителна линия към учителя. Това нарече вписан ъгъл. Една вписан ъгъл е ъгъл, образуван от три точки по обиколката на окръжност.
Теоремата за централния ъгъл обяснява връзката между размера на централния ъгъл, образуван от вас, и надписания ъгъл, образуван от вашия съсед. Най- Теорема за централен ъгъл гласи че централният ъгъл е два пъти повече от надписания ъгъл, (Това предполага, че използвате едни и същи крайни точки. И двамата гледате учителя и приятеля, а не някой друг).
Ето още един начин да го напишете. Да се обадим на седалките на приятелите си A, на учителите си B и на съседите си C. You, в центъра, можеш да бъдеш O.
И така, за три точки A, B и C по протежение на обиколката на окръжност и точка O в центъра, централният ъгъл OCAOC е два пъти надписания ъгъл ∠ABC.
Това е, ∠AOC = 2∠ABC.
Това има някакъв смисъл. По-близо сте до приятеля и учителя, така че към вас те гледат по-далеч (по-голям ъгъл). На вашия съсед от другата страна на стадиона те изглеждат много по-близо (по-малък ъгъл).
Изключение от теоремата за централния ъгъл
Сега, нека да изместим нещата. Съседът ви от далечната страна на арената започва да се движи наоколо! Те все още имат зрителна линия към приятеля и учителя, но линиите и ъглите продължават да се изместват, когато съседът се движи. Познайте какво: Докато съседът остава извън дъгата между приятеля и съседа, теоремата за централния ъгъл все още е вярна!
Но какво се случва, когато съседът се движи между приятелят и учителят? Сега вашият съсед е вътре в незначителна дъга, сравнително малкото разстояние между приятеля и учителя в сравнение с по-голямото разстояние около останалата част от арената. Тогава достигате до изключение от теоремата за централния ъгъл.
Най- изключение от теоремата за централния ъгъл заявява, че когато точка С, съседът, е вътре в малката дъга, вписаният ъгъл е добавката на половината от централния ъгъл. (Не забравяйте, че ъгъл и неговите добавка добавете на 180 градуса.)
Така: вписан ъгъл = 180 - (централен ъгъл ÷ 2)
Или: ∠ABC = 180 - (OCAOC ÷ 2)
Визуализирайте
Math Open Reference има инструмент за визуализиране на теоремата за централния ъгъл и нейното изключение. Можете да плъзнете „съседката“ към всички различни части на кръга и наблюдавате как се променят ъглите. Опитайте, ако искате визуална или допълнителна практика!